Question

已知△ABC的三個頂點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圓為圓H．對于線段BH上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，則圓C的半徑r的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：設(shè)P的坐標(biāo)，可得M的坐標(biāo)，代入圓的方程，可得以（3，2）為圓心，r為半徑的圓與以（6-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，由此求得⊙C的半徑r的取值范圍．

解答： 解：由題意，A（-1，0），B（1，0），C（3，2），
∴AB的垂直平分線是x=0，
∵BC：y=x-1，BC的中點(diǎn)是（2，1），
∴BC的垂直平分線是y=-x+3．
由

x=0 y=-x+3

，得到圓心H是（0，3），∴r=

10

，
則直線BH的方程為3x+y-3=0，設(shè)P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因為點(diǎn)M是點(diǎn)P，N的中點(diǎn)，所以M（

m+x

2

，

n+y

2

），
又M，N都在半徑為r的圓C上，所以

(x-3)2+(y-2)2=r2 ( m+x 2 -3)2+( n+y 2 -2)2=r2

，
即

(x-3)2+(y-2)2=r2 (x+m-6)2+(y+n-4)2=4r2

，
因為上式是關(guān)于x，y的方程組有解，
即以（3，2）為圓心，r為半徑的圓，
與以（6-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，
所以（2r-r）²＜（3-6+m）²+（2-4+n）²＜（r+2r）²，
又3m+n-3=0，
所以r²＜10m²-12m+10＜9r²對任意m∈[0，1]成立．
而f（m）=10m²-12m+10在[0，1]上的值域為[

32

5

，10]，
又線段BH與圓C無公共點(diǎn)，
所以（m-3）²+（3-3m-2）²＞r²對任意m∈[0，1]成立，即r²＜

32

5

．
10m²-12m+10＜9r²對任意m∈[0，1]成立，則有r²＞

10

9

，
故圓C的半徑r的取值范圍為（

10

3

，

4 10

5

）．
故答案為：（

10

3

，

4 10

5

）．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．