Question

已知函數(shù)f（x）=x-5+

25

x-1

(x＞1)的最小值為n，則二項(xiàng)式（x-

1

x

）ⁿ展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)為 （　�。�

• A、15
• B、-15
• C、30
• D、-30

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：利用基本不等式求得f（x）的最小值n=6，在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可求得二項(xiàng)式（x-

1

x

）⁶展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x-5+

25

x-1

=（x-1）+

25

x-1

-4，由x＞1，利用基本不等式可得f（x）≥2

25

-4=6，
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

25

x-1

，即x=6時(shí)，取等號(hào)，故f（x）的最小值為n=6，
則二項(xiàng)式（x-

1

x

）⁶展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 6

•（-1）^r•x^6-2r，令6-2r=2，求得r=2，
故二項(xiàng)式（x-

1

x

）⁶展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 6

=15，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．