【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足, 且,其中.
(1) 求數(shù)列的通項公式;
(2) 設數(shù)列{bn}滿足 bn=,是否存在正整數(shù),使得b1,bm,bn成等比數(shù)列?若存在,求出所有的的值;若不存在,請說明理由.
(3) 令,記數(shù)列{cn}的前項和為,其中,證明:.
【答案】(1)(2)存在,(3)證明見解析
【解析】分析:(1)由已知條件推導出數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列.由此能求出,n∈N*.
(2)=,若b1,bm,bn成等比數(shù)列,則.由此能求出當且僅當m=2,n=12.使得b1,bm,bn成等比數(shù)列.
(3)=[],由此利用裂項求和法能證明.
詳解:(1)解:∵an+12=2an2+anan+1,∴(an+1+an)(2an﹣an+1)=0,
又an>0,∴2an﹣an+1=0,即2an=an+1,
∴數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列.
由a2+a4=2a3+4,得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2.
∴數(shù)列{an}的通項公式為,n∈N*.
(2)解:=,若b1,bm,bn成等比數(shù)列,則()2=,
即.
由,得,
∴﹣2m2+4m+1>0,解得:1﹣.
又m∈N*,且m>1,∴m=2,此時n=12.
故當且僅當m=2,n=12.使得b1,bm,bn成等比數(shù)列.
(3)證明:=
=[]
=[],
∴[]
=
=,
∵()n+1遞減,
∴0<()n+1≤
∴,∴.
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【題目】已知 展開式各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992.
(Ⅰ)求n;
(Ⅱ)求展開式中 的項;
(Ⅲ)求展開式系數(shù)最大項.
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【題目】以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知點P的直角坐標為(1,2),點M的極坐標為 ,若直線l過點P,且傾斜角為 ,圓C以M為圓心,3為半徑.
(Ⅰ)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程;
(Ⅱ)設直線l與圓C相交于A,B兩點,求|PA||PB|.
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【題目】a、b、c是空間中互不重合的三條直線,下面給出五個命題:
①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;
④若a平面α,b平面β,則a,b一定是異面直線;
⑤若a,b與c成等角,則a∥b.
上述命題中正確的是________.(填序號)
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【題目】在如圖所示的多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為正方形,底面ABFE為直角梯形,∠ABF為直角, , 平面ABCD⊥平面ABFE.
(1)求證:DB⊥EC;
(2)若AE=AB,求二面角C﹣EF﹣B的余弦值.
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【題目】命題 :關于 的不等式 對一切 恒成立,命題 :指數(shù)函數(shù) 是增函數(shù),若 或 為真、 且 為假,求實數(shù) 的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax,(a∈R),其圖象與x軸交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)兩點,且x1<x2
(1)求a的取值范圍;
(2)證明: ;(f′(x)為f(x)的導函數(shù))
(3)設點C在函數(shù)f(x)的圖象上,且△ABC為等邊三角形,記 ,求(t﹣1)(a+ )的值.
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【題目】
已知等差數(shù)列, .
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記數(shù)列的前項和為,求;
(3)是否存在正整數(shù),使得仍為數(shù)列中的項,若存在,求出所有滿足的正整數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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【題目】(2015·上海)設z1, z2C, ,則“z1, z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)”是“z1-z2是虛數(shù)”的( )
A.充分非必要條件
B.必要非充分條件
C.充要條件
D.既非充分又非必要條件
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