Question

（2012•成都模擬）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），當(dāng)x∈[4，6]時(shí)，f（x）=2^x+1，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的反函數(shù)f^-1（x）的值f^-1（19）=（　　）

A．3-2log₂3

B．-1-2log₂3

C．5+log₂3

D．log₂15

Answer 1

分析：利用函數(shù)的奇偶性、周期性及反函數(shù)，把要求的函數(shù)的自變量轉(zhuǎn)化到所給的區(qū)間x∈[4，6]，即可計(jì)算出要求的值．

解答：解：設(shè)f^-1（19）=a∈[-2，0]，則f（a）=19，
∵a∈[-2，0]，∴-a∈[0，2]，∴（-a+4）∈[4，6]，
又已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（a）=f（-a），
∵對(duì)任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），∴f（-a）=f（-a+4），
而當(dāng)x∈[4，6]時(shí)，f（x）=2^x+1，
∴f（-a+4）=2^-a+4+1，
∴2^-a+4+1=19，即2^-a+4=18，即-a+4=log₂18，
而log₂18=1+2log₂3，
∴-a+4=1+2log₂3，
∴a=3-2log₂3．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性及反函數(shù)，準(zhǔn)確理解以上有關(guān)定義及性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．