Question

1．設(shè)P是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則cosF₁PF₂的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{9}$
• C． -$\frac{1}{9}$
• D． -$\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 利用橢圓的定義，余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求cos∠F₁PF₂的最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1的a=3，b=2，
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由橢圓定義，可得
|PF₁|+|PF₂|=6，|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$=$\frac{{6}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}-2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$=$\frac{16}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$-1，
∵|PF₁|+|PF₂|=6≥2$\sqrt{|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，
∴|PF₁|•|PF₂|≤9，
∴$\frac{16}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$-1≥$\frac{8}{9}$-1=-$\frac{1}{9}$．當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=3，取得最小值-$\frac{1}{9}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，余弦定理，考查基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．