Question

6．正四棱錐（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面邊長為4，高為4，點(diǎn)E、F、G分別為SD，CD，BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正四棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PG∥平面AEF，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{5}$+$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． 2$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 先想著找到P點(diǎn)的軌跡：取SB的中點(diǎn)M，并連接GM，作GN∥AF，與AB交于N，再連接MN，從而可說明平面MNG∥平面AEF，從而便找到P點(diǎn)的軌跡為MG，NG，MN三條線段，把這三線段的長度求出即可．連接AC，BD，并交于O點(diǎn)，連接SO，這樣即可分別以O(shè)B，OC，OS三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出M，N，G三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求三線段MG，NG，MN即可．

解答 解：取SB中點(diǎn)M，連接GM，則GM∥SC，又EF∥SC；
∴GM∥EF，EF?平面AEF，GM?平面AEF；
∴GM∥平面AEF；
過G作GN∥AF，交AB于N，并連接GN，同理可得GN∥平面AEF，GM∩GN=G；
∴平面GMN∥平面AEF；
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡便是線段MN，MG，NG，軌跡的周長便是MN+MG+NG；
連接AC，BD，并交于O，則分別以O(shè)B，OC，OS三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
B（$2\sqrt{2}$，0，0），C（0，$2\sqrt{2}$，0），G（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），S（0，0，4），M$（\sqrt{2}，0，2）$，A（0，-$2\sqrt{2}$，0），N（$\frac{3\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）；
∴$|MN|=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4}=\sqrt{5}$，$|MG|=\sqrt{6}$，|NG|=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{9}{2}}=\sqrt{5}$；
∴P點(diǎn)軌跡的周長為$2\sqrt{5}+\sqrt{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)，以及通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離公式求空間線段長度的方法，理解軌跡的概念．