Question

6．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△AED，△EBF，△FCD分別沿DE、EF、FD折起，使A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)M，則三棱錐M-DEF的外接球的體積為（　�。�

• A． 2π
• B． 4π
• C． $\sqrt{6}$π
• D． 6π

Answer 1

分析 把棱錐擴(kuò)展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑就是三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐M-DEF的外接球的體積．

解答 解：由題意可知△MEF是等腰直角三角形，且MD⊥平面MEF．
三棱錐的底面MEF擴(kuò)展為邊長(zhǎng)為1的正方形，
然后擴(kuò)展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球，
正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)度就是外接球的直徑，直徑為：$\sqrt{1+1+4}$=$\sqrt{6}$．
∴球的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴三棱錐M-DEF的外接球的體積為$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}π$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐M-DEF的外接球的體積，考查幾何體的折疊問(wèn)題，幾何體的外接球的半徑的求法，考查空間想象能力．