Question

7．已知：f（x）=ax²-ax-2
（1）?x∈R，使f（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）?x∈R，使f（x）≤0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)進行求解即可．
（2）根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）?x∈R，使f（x）≤0恒成立，
則等價為ax²-ax-2≤0恒成立，
若a=0，則不等式等價為-2≤0成立，
若a≠0，則$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△={a}^{2}+8a≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-8＜a＜0}\end{array}\right.$，
解得-8＜a＜0，綜上-8＜a≤0，
即實數(shù)a的取值范圍是（-8，0]；
（2）?x∈R，使f（x）≤0成立，
則①若a=0，則不等式等價為-2≤0成立，
②若a＜0，則拋物線開口向下，不等式f（x）≤0成立，
③若a＞0，則拋物線開口向上，則滿足判別式△=a²+8a≥0，
即a≥0或a≤-8，
此時解得a＞0，
綜上a∈R，
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，+∞）．

點評 本題主要考查一元二次不等式的求解，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合判別式△是解決本題的關(guān)鍵．