Question

函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【解析】（1）；（2）見(jiàn)解析 

解析：（1）∵

   由已知  ∴   得             ………2分

  ∴

  當(dāng)為增函數(shù)；

  當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)。

 ∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)                              ………4分

 又在上存在極值  

∴    即 

  故實(shí)數(shù)的取值范圍是                               ………5分

（2）  

 即為                       ………6分

   令 

   則

   再令   則

   ∵   ∴   ∴ 在上是增函數(shù)

   ∴   ∴

   ∴在上是增函數(shù) 

 ∴時(shí)，   故            ………9分

令

則

∵   ∴  ∴  即上是減函數(shù)

∴時(shí)，                         ………11分

所以，  即          ………12分

【思路點(diǎn)撥】(1)先求導(dǎo)得，利用單調(diào)性判斷出是函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以有，解不等式組即可；（2）先轉(zhuǎn)化為， 令，再求導(dǎo)結(jié)合單調(diào)性證明。