Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）= （a∈R）是奇函數(shù)，函數(shù)g（x）= 的定義域為（﹣1，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）= 在（﹣1，+∞）上遞減，根據(jù)單調(diào)性的定義求實數(shù)m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（﹣1，1）上有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù) 是奇函數(shù)，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ 得a=0

（2）解：∵ 在（﹣1，+∞）上遞減，

∴任給實數(shù)x1，x2，當﹣1＜x1＜x2時，g（x1）＞g（x2），

∴ ，

∴m＜0

（3）解：由（1）得 ，

令h（x）=0，即 ，

化簡得x（mx2+x+m+1）=0，

∴x=0或 mx2+x+m+1=0，

若0是方程mx2+x+m+1=0的根，則m=﹣1，

此時方程mx2+x+m+1=0的另一根為1，不符合題意，

∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（﹣1，1）上有且僅有兩個不同的零點，

等價于方程mx2+x+m+1=0（※）在區(qū)間（﹣1，1）上有且僅有一個非零的實根，

①當△=12﹣4m（m+1）=0時，得 ，

若 ，則方程（※）的根為 ，符合題意；

若 ，則與（2）條件下m＜0矛盾，不符合題意，

∴ ，

②當△＞0時，令h（x）=mx2+x+m+1，

由 ，得﹣1＜m＜0，

綜上所述，所求實數(shù)m的取值范圍是

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出a的值即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義判斷m的范圍即可；（3）根據(jù)根域系數(shù)的關(guān)系，通過討論△的符號，求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．