Question

如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)的上，下兩個頂點為A，B，直線l：y＝－2，點P是橢圓上異于點A，B的任意一點，連接AP并延長交直線l于點N，連接PB并延長交直線l于點M，設(shè)AP所在的直線的斜率為k₁，BP所在的直線的斜率為k₂.若橢圓的離心率為，且過點A(0,1)．

(1)求k₁·k₂的值；

(2)求MN的最小值；

(3)隨著點P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點？若過定點，求出該定點；如不過定點，請說明理由．

Answer 1

解　(1)因為e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.(2分)

設(shè)橢圓上點P(x₀，y₀)，有＝1，

所以k₁·k₂＝ (2)因為M，N在直線l：y＝－2上，設(shè)M(x₁，－2)，N(x₂，－2)，

由方程知＋y²＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，

所以K_BM·k_AN＝ (6分)

又由(1)知k_AN·k_BM＝k₁·k₂＝－，所以x₁x₂＝－12，(8分)

不妨設(shè)x₁＜0，則x₂＞0，則

MN＝|x₁－x₂|＝x₂－x₁＝x₂＋＝4，

所以當(dāng)且僅當(dāng)x₂＝－x₁＝2時，MN取得最小值4.(10分)

(3)設(shè)M(x₁，－2)，N(x₂，－2)，

則以MN為直徑的圓的方程為

(x－x₁)(x－x₂)＋(y＋2)²＝0，(12分)

即x²＋(y＋2)²－12－(x₁＋x₂)x＝0，若圓過定點，

則有x＝0，x²＋(y＋2)²－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，

所以，無論點P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點(0，－2±2)．(16分)