Question

如圖4，已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，且∠ACB＝90°，

∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，點(diǎn)P、M、N分別為BC1、CC1、AB1

的中點(diǎn)．

（1）求證：PN//平面ABC；

（2）求證：AB1⊥A1M；

（3）求二面角C1—A B1—A1的余弦值．                                    

Answer 1

（1）證明：連結(jié)CB1，∵P是BC1的中點(diǎn) ，∴CB1過點(diǎn)P，--1分

∵N為AB1的中點(diǎn)，∴PN//AC,

又∵面，面,

∴PN//平面ABC.

（2）證法一：在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝

∵棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，且，以點(diǎn)C1為

原點(diǎn)，以C1B1所在的直線為x軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系如圖示，則

，,, ,

∴,

∵

∴ A1M⊥AB1-

【證法二：連結(jié)AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝

∵=,

∴-

，

即AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，∴B1C1⊥A1M，又，故A1M⊥A B1C1，

面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1.

【證法三：連結(jié)AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝-

設(shè)∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

∵

∴α+β＝90°  即AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，∴B1C1⊥A1M，又

故A1M⊥面A B1C1，

 面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1.

（3）解法一：∵棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，且，

以點(diǎn)C1為原點(diǎn)，以C1B1所在的直線為x軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

依題意得，,,,,

,

設(shè)面的一個法向量為

由得,令得.

同理可得面的一個法向量為分

故二面角的平面角的余弦值為

-【解法二：過C1作C1E⊥A1B1交A1B1于點(diǎn)E，過E作EF⊥AB1交AB1于F，連結(jié)C1 F，

∵平面AA1BB1⊥底面A1B1C1，∴ C1E⊥平面AA1BB1，

∴ C1E⊥AB1，∴ AB1⊥平面C1EF，∴ AB1⊥C1F，

故為二面角C1—A B1—A1的平面角，

在中，,

,,-

又故