Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n-2a_n-1=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），且a₁=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）{a}_{n}}$，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)a_n-2a_n-1=2ⁿ變形得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，計(jì)算即可；
（2）通過(guò)拆項(xiàng)得b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項(xiàng)相加即可．

解答 （1）解：∵a_n-2a_n-1=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{2{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$=1，
即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
又∵a₁=2，∴$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，∴a_n=n•2ⁿ；
（2）證明：b_n=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）•n•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．