Question

【題目】平面內有一個△ABC和一點O（如圖），線段OA，OB，OC的中點分別為E，F(xiàn)，G，BC，CA，AB的中點分別為L，M，N，設 = ， = ， = ．

（1）試用 ， ， 表示向量 ， ， ；
（2）證明：線段EL，F(xiàn)M，GN交于一點且互相平分．

Answer 1

【答案】
（1）解： =；

同理， ，

（2）證明：如圖，連接EN，NL，LG，GE，根據(jù)條件，則：

NE∥BO，且 ，LG∥BO，且 ；

∴NE∥LG，且NE=LG；

∴四邊形NLGE為平行四邊形；

∴線段El，GN交于一點且互相平分；

同理，線段EL，F(xiàn)M交于一點且互相平分；

∴線段EL，F(xiàn)M，GN交于一點且互相平分．

【解析】（1）根據(jù)向量的加法、數(shù)乘的幾何意義，以及向量加法的平行四邊形法則，并進行向量的數(shù)乘運算便可得到 ，從而同理可以用 分別表示出 ；（2）可連接EN，NL，LG，GE，根據(jù)三角形中位線的性質及平行四邊形的定義便可得到四邊形NLGE為平行四邊形，從而對角線EL，GN交于一點且互相平分，而同理可證明EL，F(xiàn)M相交于一點且互相平分，從而便得出線段EL，F(xiàn)M，GN交于一點且互相平分．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解向量的三角形法則的相關知識，掌握三角形加法法則的特點：首尾相連;三角形減法法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．