Question

14．設a，b，c為正數，a+b+9c²=1，則$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{3}$c的最大值為$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由條件利用柯西不等式求得$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{3}$c的最大值．

解答 解：∵a、b、c為正數，a+b+9c²=1，
由柯西不等式可得[$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{3}$c]²≤[（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt$）²+（3c）²]•[1²+1²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²]=1×$\frac{7}{3}$=$\frac{7}{3}$，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{3}$c的最大值是$\frac{\sqrt{21}}{3}$．此時，$\frac{\sqrt{a}}{1}$=$\frac{\sqrt}{1}$=$\frac{3c}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$ 且a+b+9c²=1，
即 a=b=$\frac{3}{7}$，c=$\frac{\sqrt{7}}{21}$時，取等號，
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

點評 本題考查了柯西不等式的應用，考查了變形能力和計算能力，屬于基礎題．