Question

19．在△ABC中，AB⊥AC，AB=$\frac{1}{t}$，AC=t，P是△ABC所在平面內一點，若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{4\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，則△PBC面積的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 建立直角坐標系，由向量的坐標運算得出P的坐標，
利用基本不等式求得△PBC面積的最小值．

解答 解：由題意建立如圖所示的坐標系，
可得A（0，0），B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{4\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=（4，0）+（0，1）=（4，1），
∴P（4，1）；
又|BC|=$\sqrt{{t}^{2}{+（\frac{1}{t}）}^{2}}$，BC的方程為tx+$\frac{y}{t}$=1，
∴點P到直線BC的距離為d=$\frac{|4t+\frac{1}{t}-1|}{\sqrt{{t}^{2}{+（\frac{1}{t}）}^{2}}}$，
∴△PBC的面積為
S=$\frac{1}{2}$•|BC|•d
=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{{t}^{2}{+（\frac{1}{t}）}^{2}}$•$\frac{|4t+\frac{1}{t}-1|}{\sqrt{{t}^{2}{+（\frac{1}{t}）}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$|4t+$\frac{1}{t}$-1|≥$\frac{1}{2}$•|2$\sqrt{4t•\frac{1}{t}}$-1|=$\frac{3}{2}$，
當且僅當4t=$\frac{1}{t}$，即t=$\frac{1}{2}$時取等號，
∴△PBC面積的最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運算以及函數(shù)的最值和基本不等式的運用問題，是中檔題．