Question

15．如圖．在矩形ABCD中．AB=3 $\sqrt{3}$，BC=3，沿對(duì)角線BD把△BCD折起．使C移到C′．且C′在面ABC內(nèi)的射影O恰好落在AB上．
（1）求證：AD⊥BC′；
（2）求證：平面DBC′⊥平面ADC′；
（3）求三棱錐C′-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥AB，AD⊥C′O，從而AD⊥平面AC′O，由此能證明AD⊥BC′．
（2）推導(dǎo)出BP⊥DC′，AD⊥C′O，C′B⊥AD，從而BC′⊥平面ADC′，從而能證明平面DBC′⊥平面ADC′．
（3）由C′O⊥平面ABD，得到三棱錐C′-ABD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×{C}^{'}O$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵在矩形ABCD，∴AD⊥AB，
∵C′在面ABC內(nèi)的射影O恰好落在AB上，
∴C′O⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥C′O，
∵AB∩C′O=O，∴AD⊥平面AC′O，
∵BC′?平面AC′O，∴AD⊥BC′．
（2）：∵在矩形ABCD中，BC⊥CD，AB⊥AD，
∴折起后，BP⊥DC′，
∵沿對(duì)角線BD把△BCD折起，使點(diǎn)C移到點(diǎn)C′，
且點(diǎn)C′在面ABD內(nèi)的射影O恰好落在AB上，
∴C′O⊥平面ABD，又AD?平面ABD，∴AD⊥C′O，
又AB∩C′O=O，∴AD⊥平面C′AB，
又C′B?平面C′AB，∴C′B⊥AD，
∵AD∩DC′=D，∴BC′⊥平面ADC′，
又BC′?平面DBC′，∴平面DBC′⊥平面ADC′．
解：（3）∵C′O⊥平面ABCD，∴C′O⊥平面ABD，
∵在矩形ABCD中，AB=3$\sqrt{3}$，BC=3，
∴BC′=AD=3，C′D=3$\sqrt{3}$，∴C′A=$\sqrt{{C}^{'}{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴C′O=$\frac{B{C}^{'}•{C}^{'}A}{AB}$=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3=\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱錐C′-ABD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×{C}^{'}O$=$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．