Question

17．已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx
（1）若f（x）的極大值為$\frac{4}{27}$，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)f（x）的最大值，令其為$\frac{4}{27}$即可解得b的值即可；
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)可求最值．

解答 解：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-x（3x-2），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{3}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，$\frac{2}{3}$）遞增，在（$\frac{2}{3}$，+∞）遞減，
∴f（x）_極大值=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{27}$+b=$\frac{4}{27}$，故b=0；
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時(shí)取，
∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$恒成立，
即a≤（ $\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$）_min．     
令t（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
求導(dǎo)得，t′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-lnx）}{{（x-lnx）}^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，從而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上為增函數(shù)，t_min（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．

點(diǎn)評 該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．