Question

7．艾薩克•牛頓（1643年1月4日-1727年3月31日）英國皇家學(xué)會會長，英國著名物理學(xué)家，同時在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻(xiàn)，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f（x）零點時給出一個數(shù)列{x_n}：滿足${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有兩個零點1，2，數(shù)列{x_n}為牛頓數(shù)列，設(shè)${a_n}=ln\frac{{{x_n}-2}}{{{x_n}-1}}$，已知a₁=2，x_n＞2，則{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ．

Answer 1

分析 由已知得到a，b，c的關(guān)系，可得f（x）=ax²-3ax+2a，求導(dǎo)后代入${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$，整理可得$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}=（\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}）^{2}$，兩邊取對數(shù)，可得$ln\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$是以2為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式求導(dǎo)答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有兩個零點1，2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2a}\\{b=-3a}\end{array}\right.$．
∴f（x）=ax²-3ax+2a．
則f′（x）=2ax-3a．
則${x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{a{{x}_{n}}^{2}-3a{x}_{n}+2a}{2a{x}_{n}-3a}$=${x}_{n}-\frac{{{x}_{n}}^{2}-3{x}_{n}+2}{2{x}_{n}-3}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}-2}{2{x}_{n}-3}$，
∴$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}=（\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}）^{2}$，
則$ln\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$是以2為公比的等比數(shù)列，
∵${a_n}=ln\frac{{{x_n}-2}}{{{x_n}-1}}$，且a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
故答案為：2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，屬中檔題．