Question

16．若△ABC面積為1，則$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的運(yùn)算得出$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{4-2cosA}{sinA}$=$\frac{-2（cosA-2）}{sinA-0}$根據(jù)幾何意義得出：半圓上的出點(diǎn)（cosA，sinA），與點(diǎn)（2，0）連線的斜率t=$\frac{sinA-0}{cosA-2}$，0＜A＜π，
再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解即可．

解答 解：∵△ABC面積為1，
∴$\frac{1}{2}×$|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|sinA=1，
即|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{2}{sinA}$，
∵$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$≥2|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|-|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=2×$\frac{2}{sinA}$-$\frac{2}{sinA}$×cosA，
∴$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{4-2cosA}{sinA}$=$\frac{-2（cosA-2）}{sinA-0}$
∵t=$\frac{sinA-0}{cosA-2}$，0＜A＜π，
∴根據(jù)幾何意義得出：半圓上的出點(diǎn)（cosA，sinA），與點(diǎn)（2，0）連線的斜率的范圍：t∈[$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），

$\frac{1}{t}$$≤-\sqrt{3}$，
$-\frac{2}{t}$$≥2\sqrt{3}$
故答案為；2$\sqrt{3}$

點(diǎn)評 本題綜合考察了向量的運(yùn)算，三角函數(shù)，圓與直線的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于綜合題目，難度較大．