Question

4．已知對任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），y∈[-1，1]，不等式x²+$\frac{16}{{x}^{2}}$-2xy-$\frac{8}{x}$$\sqrt{1-{y}^{2}}$-a≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為$（-∞，8-4\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 設y=cosθ，θ∈[0，π]．可得：xy+$\frac{4}{x}$$\sqrt{1-{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}}$cos（θ+φ），可得a≤${x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}$-2$\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}}$，令t=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}}$，即可得出．

解答 解：設y=cosθ，θ∈[0，π]．
∵xy+$\frac{4}{x}$$\sqrt{1-{y}^{2}}$=xcosθ+$\frac{4}{x}$|sinθ|=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}}$cos（θ+φ），
∴a≤${x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}$-2$\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}}$，令t=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}}$，∴$t≥2\sqrt{2}$，
∴a≤t²-2t=（t-1）²-1，∴a≤8-4$\sqrt{2}$．
∴實數(shù)a的取值范圍為$（-∞，8-4\sqrt{2}]$．
故答案為：$（-∞，8-4\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了三角函數(shù)換元方法、三角函數(shù)的單調性、基本不等式的性質、二次函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．