Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，則（　�。�

• A． 2b+c有最大值9
• B． 2b+c有最小值9
• C． 2b+c有最大值-9
• D． 2b+c有最小值-9

Answer 1

分析 由函數(shù)在給定區(qū)間上是減函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒小于或等0，得出b，c的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)就能求出2b+c的取值范圍．

解答 解：f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，∴f′（x）=3x²+2bx+c≤0在[-1，2]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3-2b+c≤0}\\{f′（2）=12+4b+c≤0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-2b+c≤-3}\\{4b+c≤-12}\end{array}\right.$，
設(shè)2b+c=x（-2b+c）+y（4b+c），
得2b+c=（-2x+4y）b+（x+y）c，
由系數(shù)相等得：$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4y=2}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，
∴2b+c=$\frac{1}{3}$（-2b+c）+$\frac{2}{3}$（4b+c）∈（-∞，-9]．
故2b+c的最大值是-9，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．也可以運(yùn)用線性規(guī)劃來解決此題．