Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$+ax，x＞1．
（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=2，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅲ）若存在實(shí)數(shù)a使f（x）在區(qū)間（${e^{\frac{1}{n}}}，{e^n}$）（n∈N^*，且n＞1）上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的表達(dá)式，利用函數(shù)的最小值求出a的范圍．
（Ⅱ）通過(guò)a=2，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極小值．
（Ⅲ）判斷aln²x+lnx-1=0在$（{e^{\frac{1}{n}}}，{e^n}）$上有兩個(gè)不等實(shí)根，法一：構(gòu)造函數(shù)$lnx=u，（\frac{1}{n}＜u＜n）$，推出$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△=1+4a＞0\\ \frac{1}{n}＜-\frac{1}{2a}＜n\\ g（\frac{1}{n}）＜0\\ g（n）＜0\end{array}\right.$，求出n的最小值．法二：利用$lnx=u，（\frac{1}{n}＜u＜n）$，推出a的表達(dá)式，列出$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}＜\frac{1}{2}＜n\\-\frac{1}{4}＜a＜{n^2}-n\\-\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\end{array}\right.$然后求解n的最小值．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+a$，由題意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；-----------（1分）
∴$a≤\frac{1}{{{{ln}^2}x}}-\frac{1}{lnx}={（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，----------------------（2分）
∵x∈（1，+∞），∴l(xiāng)nx∈（0，+∞），----------------------（3分）
∴$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}=0$時(shí)函數(shù)t=${（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$的最小值為$-\frac{1}{4}$，
∴$a≤-\frac{1}{4}$----------------------（4分）
（Ⅱ）  當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=\frac{x}{lnx}+2x$$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+2=\frac{{lnx-1+2{{ln}^2}x}}{{{{ln}^2}x}}$-----------------（5分）
令f′（x）=0得2ln²x+lnx-1=0，
解得$lnx=\frac{1}{2}$或lnx=-1（舍），即$x={e^{\frac{1}{2}}}$----------------------（7分）
當(dāng)$1＜x＜{e^{\frac{1}{2}}}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)$x＞{e^{\frac{1}{2}}}$時(shí)，f′（x）＞0
∴f（x）的極小值為$f（{e^{\frac{1}{2}}}）=\frac{{{e^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}}+2{e^{\frac{1}{2}}}=4{e^{\frac{1}{2}}}$----------------------（8分）
（Ⅲ）原題等價(jià)于f′（x）=0在$（{e^{\frac{1}{n}}}，{e^n}），（n∈{N^*}$，且n＞1）上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
由題意可知$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+a=\frac{{lnx-1+a{{ln}^2}x}}{{{{ln}^2}x}}$---------------------（9分）
即aln²x+lnx-1=0在$（{e^{\frac{1}{n}}}，{e^n}）$上有兩個(gè)不等實(shí)根．----------------------（10分）
法一：令$lnx=u，（\frac{1}{n}＜u＜n）$，g（u）=au²+u-1
∵g（0）=-1＜0，根據(jù)圖象可知：$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△=1+4a＞0\\ \frac{1}{n}＜-\frac{1}{2a}＜n\\ g（\frac{1}{n}）＜0\\ g（n）＜0\end{array}\right.$，整理得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}＜a＜0\\-\frac{n}{2}＜a＜-\frac{1}{2n}\\ a＜{n^2}-n\\ a＜\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\end{array}\right.$----------（11分）
即${\{-\frac{1}{2n}，{n^2}-n，\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\}_{min}}＞-\frac{1}{4}$，解得n＞2，
∴n的最小值為3．----------------------（13分）
法二：
令$lnx=u，（\frac{1}{n}＜u＜n）$，$a=-\frac{u-1}{u^2}={（\frac{1}{u}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}，（\frac{1}{n}＜\frac{1}{u}＜n）$--------------（11分）
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}＜\frac{1}{2}＜n\\-\frac{1}{4}＜a＜{n^2}-n\\-\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}n＞2\\{（n-\frac{1}{2}）^2}＞0\\{（\frac{1}{n}-\frac{1}{2}）^2}＞0\end{array}\right.$
解得n＞2，∴n的最小值為3．----------------------（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．