【題目】已知拋物線x2=4y焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A,B,C為該拋物線上不同的三點(diǎn),且滿足 + + =
(1)求|FA|+|FB|+|FC|;
(2)若直線AB交y軸于點(diǎn)D(0,b),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【答案】
(1)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),

由拋物線x2=4y得焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(0,1),

所以 =(x1,y1﹣1), =(x2,y2﹣1), =(x3,y3﹣1),

所以由 + + = ,得 ,(*)

易得拋物線準(zhǔn)線為y=﹣1,

由拋物線定義可知|FA|=y1+1,|FB|=y2+1,|FC|=y3+1,

所以|FA|+|FB|+|FC|=y1+y2+y3+3=6


(2)解:顯然直線AB斜率存在,設(shè)為k,則直線AB方程為y=kx+b,

聯(lián)立 消去y得:x2﹣4kx﹣4b=0,

所以△=16k2+16b>0即k2+b>0…①

且x1+x2=4k,x1x2=﹣4b,所以y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k2+2b,

代入式子(*)得 又點(diǎn)C也在拋物線上,

所以16k2=12﹣16k2﹣8b,即k2= …②,

由①,②及k2≥0可解得 即﹣ <b≤

又當(dāng)b=1時(shí),直線AB過(guò)點(diǎn)F,此時(shí)A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線,由 + + = ,

共線,即點(diǎn)C也在直線AB上,此時(shí)點(diǎn)C必與A,B之一重合,

不滿足點(diǎn)A,B,C為該拋物線上不同的三點(diǎn),所以b≠1,

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(﹣ ,1)∪(1, ]


【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程,運(yùn)用拋物線的定義和向量的坐標(biāo)表示,可得所求和;(2)顯然直線AB斜率存在,設(shè)為k,則直線AB方程為y=kx+b,代入拋物線的方程,運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理,結(jié)合向量的坐標(biāo)表示,求出C的坐標(biāo),代入拋物線的方程,可得b的范圍,討論b=1不成立,即可得到所求范圍.

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