Question

3．已知函數(shù)f_n（x）=$\frac{n{x}^{2}-ax}{{x}^{2}+1}$（n∈N^*）的圖象在原點(diǎn)處的切線的傾斜角為135°．
（1）求f₁（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)x₁，x₂，…，x_n為正實(shí)數(shù)，且$\sum_{i=1}^{n}$x_i=1，求證：f_n（x₁）+f_n（x₂）+…+f_n（x_n）≥0．

Answer 1

分析 （1）求出f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得a=1，求出f₁（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）求出y=f_n（x）在（$\frac{1}{n}$，f_n（$\frac{1}{n}$））處的切線的方程，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f_n（x）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$），運(yùn)用累加法，即可得證．

解答 解：（1）f_n（x）=$\frac{{nx}^{2}-ax}{{x}^{2}+1}$（n∈N*）的導(dǎo)數(shù)為f′_n（x）=$\frac{{ax}^{2}+2nx-a}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
即有在點(diǎn)（0，f_n（0））處的切線斜率為f′_n（0）=-a=-1，
解得a=1，
f₁（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$，f′₁（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
f′₁（x）＞0，解得x＞$\sqrt{2}$-1或x＜-1-$\sqrt{2}$；
f′₁（x）＜0，解得-1-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$-1．
即有f₁（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{2}$-1）∪（$\sqrt{2}$-1，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（-1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1）；
（2）證明：f_n（x）=$\frac{{nx}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$的導(dǎo)數(shù)為f′_n（x）=$\frac{{x}^{2}+2nx-1}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
f_n（$\frac{1}{n}$）=0，f′_n（$\frac{1}{n}$）=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，
即有y=f_n（x）在（$\frac{1}{n}$，f_n（$\frac{1}{n}$））處的切線的方程為y=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f_n（x）-$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$）=$\frac{{nx}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$-$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$）=$\frac{（n-x{）（nx-1）}^{2}}{{（x}^{2}+1）{（n}^{2}+1）}$≥0，
即有f_n（x）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x-$\frac{1}{n}$），
x_i＞0（i=1，2，…，n），且x₁+x₂+…+x_n=1，即有0＜x_i＜1，i=1，2，…，n．
f_n（x_i）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x_i-$\frac{1}{n}$），
f_n（x₁）+f_n（x₂）+…+f_n（x_n）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x₁-$\frac{1}{n}$+x₂-$\frac{1}{n}$+…+x_n-$\frac{1}{n}$）
即有f_n（x₁）+f_n（x₂）+…+f_n（x_n）≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$（x₁+x₂+…+x_n-$\frac{1}{n}$•n）=0，
綜上可得f_n（x₁）+f_n（x₂）+…+f_n（x_n）≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法以及化簡整理的運(yùn)算能力和不等式的證明，屬于中檔題和易錯(cuò)題．