Question

7．已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C，直線l的普通方程；
（2）直線1與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|．

Answer 1

分析 （1）由sin²θ+cos²θ=1，能求出曲線C的普通方程，消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程．
（2）曲線C是以C（2，0）為圓心，以r=1為半徑的圓，先求出圓心C（2，0）到直線l的距離d，由|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-ksfiark^{2}}$，能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴由sin²θ+cos²θ=1，能求出曲線C的普通方程為：（x-2）²+y²=1．
∵直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
∴消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為：2x+y-6=0．
（2）∵曲線C：（x-2）²+y²=1是以C（2，0）為圓心，以r=1為半徑的圓，
圓心C（2，0）到直線l：2x+y-6=0的距離d=$\frac{|4-6|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
又直線1與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，
∴|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-2wy1gia^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線C，直線l的普通方程的求法，考查直線與圓相交弦弦長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程與普通方程互化公式、圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．