Question

12．己知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦點(diǎn)F（-2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m（m＞0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M在圓x²+y²=1上，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由題意得到關(guān)于a，b，c的不等式組，求解不等式組得到a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B中的坐標(biāo)，代入圓x²+y²=1求得m值，再由弦長公式求得|AB|．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=8，b²=4．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{3}$．
∴${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$，
∴A，B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$），
又線段AB的中點(diǎn)M在圓x²+y²=1上，
∴$（-\frac{2m}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}=1$，解得：$m=\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}×\frac{3\sqrt{5}}{5}=-\frac{4\sqrt{5}}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2×（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}-8}{3}$=$-\frac{22}{15}$．
則|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}+4×\frac{22}{5}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．