Question

3．在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，問(wèn)底面的邊BC上是否存在點(diǎn)E．
（1）使得∠PED=90°
（2）使∠PED為銳角．證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先當(dāng)AB≤$\frac{1}{2}$AD時(shí)，在邊BC上存在點(diǎn)E使∠PED=90°，當(dāng)AB＞$\frac{1}{2}$AD時(shí)，在邊BC上不存在點(diǎn)E使∠PED=90°．進(jìn)一步利用直徑所對(duì)的圓周角為90°得到結(jié)論．
（2）利用線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)化得到結(jié)論．

解答 解：①當(dāng)AB≤$\frac{1}{2}$AD時(shí)，在邊BC上存在點(diǎn)E使∠PED=90°，
當(dāng)AB＞$\frac{1}{2}$AD時(shí)，在邊BC上不存在點(diǎn)E使∠PED=90°．
證明：當(dāng)AB≤$\frac{1}{2}$AD時(shí)，在邊BC上存在點(diǎn)E使∠PED=90°，當(dāng)AB＞$\frac{1}{2}$AD時(shí)，在邊BC上不存在點(diǎn)E使
∠PED=90°．因?yàn)橐訟D為直徑的圓與BC無(wú)交點(diǎn)．
②連接BD，做AF⊥BD，垂足為F，連接PF，
由于PA⊥平面ABCD，又△ABD為直角三角形，
所以，F(xiàn)在BD上，
所以：∠PBF為銳角．
進(jìn)一步得到：∠PED為銳角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：點(diǎn)的存在性問(wèn)題，線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)換．