Question

11．如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，
①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是②③④．

Answer 1

分析 正四面體的平面展開圖復(fù)原為正四面體A（B、C）-DEF，
①，依題意，GH∥AD，而AD與EF異面，從而可判斷GH與EF不平行；
②，假設(shè)BD與MN共面，可得A、D、E、F四點共面，導(dǎo)出矛盾，從而可否定假設(shè)，肯定BD與MN為異面直線；
③，依題意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判斷GH與MN成60°角；
④，連接GF，那么A點在平面DEF的射影肯定在GF上，通過線面垂直得到線線垂直．

解答 解：將正四面體的平面展開圖復(fù)原為正四面體A（B、C）-DEF，如圖：

對于①，G、H分別為DE、BE的中點，則GH∥AD，而AD與EF異面，故GH與EF不平行，故①錯誤；
對于②，BD與MN為異面直線，正確（假設(shè)BD與MN共面，則A、D、E、F四點共面，與ADEF為正四面體矛盾，故假設(shè)不成立，故BD與MN異面）；
對于③，依題意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH與MN成60°角，故③正確；
對于④，連接GF，A點在平面DEF的射影A₁在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，
而AF∥MN，∴DE與MN垂直，故④正確．
綜上所述，正確命題的序號是②③④，
故答案為：②③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間直線間的位置關(guān)系，突出考查異面直線的判定、兩直線所成的角的概念及應(yīng)用，屬于中檔題．