Question

2．渾南“萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)”五一期間舉辦“萬(wàn)達(dá)杯”游戲大賽．每5人組成一隊(duì)，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中的投擲飛鏢比賽中，要求隨機(jī)抽取3名隊(duì)員參加，每人投擲一次．假設(shè)飛鏢每次都能投中靶面，且靶面上每點(diǎn)被投中的可能性相同．某人投中靶面內(nèi)陰影區(qū)域記為“成功”（靶面為圓形，ABCD為正方形）．每隊(duì)至少有2人“成功”則可獲得獎(jiǎng)品（其中任何兩位隊(duì)員“成功”與否互不影響）．
（Ⅰ）某隊(duì)中有3男2女，求事件A：“參加投擲飛鏢比賽的3人中有男有女”的概率；
（Ⅱ）求某隊(duì)可獲得獎(jiǎng)品的概率．

Answer 1

分析 （I）假設(shè)某隊(duì)中1，2，3號(hào)為男性，4，5號(hào)為女性，在從5人中列出抽取3人的所有可能情況，其中事件$\bar A$包括（1，2，3）一種情況，然后求解參加投擲飛鏢比賽的3人中有男有女”的概率．
（II）設(shè)事件A_i表示第i個(gè)人成功，求出$P（{A_i}）=\frac{{\frac{1}{2}π{{（OM）}^2}}}{{π{{（OD）}^2}}}=\frac{1}{4}$，（i=1，2，3），設(shè)事件B表示某隊(duì)可獲得獎(jiǎng)品，即至少有2人“成功”求出P（B），即可得到結(jié)果．

解答 解：（I）假設(shè)某隊(duì)中1，2，3號(hào)為男性，4，5號(hào)為女性，在從5人中
抽取3人的所有可能情況有（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4）
（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）共10個(gè)基本事件
其中事件$\bar A$包括（1，2，3）一種情況，

∴$P（A）=1=P（\bar A）=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
答：“參加投擲飛鏢比賽的3人中有男有女”的概率為$\frac{9}{10}$…（6分）
（II）由圖可知$OD=\sqrt{2}OM$，
設(shè)事件A_i表示第i個(gè)人成功，則$P（{A_i}）=\frac{{\frac{1}{2}π{{（OM）}^2}}}{{π{{（OD）}^2}}}=\frac{1}{4}$，（i=1，2，3）
設(shè)事件B表示某隊(duì)可獲得獎(jiǎng)品，即至少有2人“成功”
則$P（B）=P（{A_1}∩{A_2}∩{A_3}）+P（\overline{A_1}∩{A_2}∩{A_3}）+P（{A_1}∩\overline{A_2}∩{A_3}）+P（{A_1}∩{A_2}∩\overline{A_3}）$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{5}{32}$，
答：某隊(duì)可獲得獎(jiǎng)品的概率為$\frac{5}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型概率的求法，對(duì)立事件的概率的求法，考查計(jì)算能力．