Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）當a∈R時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）當a=-1時，函數(shù)f（x）=x²-2x+2的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，進而可得函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）函數(shù)f（x）=x²+2ax+2的圖象是開口朝上，且以直線x=-a為對稱軸的拋物線，分類討論對稱軸與給定區(qū)間的位置關系，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）當a=-1時，函數(shù)f（x）=x²-2x+2的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
由x∈[-5，5]得：
x=-5時，函數(shù)取最大值37，
x=1時，函數(shù)取最小值1；
（2）函數(shù)f（x）=x²+2ax+2的圖象是開口朝上，且以直線x=-a為對稱軸的拋物線，
若-a＜-5，即a＞5，函數(shù)f（x）在[-5，5]上為增函數(shù)，
當x=-5時，函數(shù)取最小值27-10a；
若-5≤-a≤5，即-5≤a≤5，函數(shù)f（x）在[-5，-a]上為減函數(shù)，在[-a，5]上為增函數(shù)，
當x=-a時，函數(shù)取最小值2-a²；
若-a＞5，即a＜-5，函數(shù)f（x）在[-5，5]上為減函數(shù)，
當x=5時，函數(shù)取最小值27+10a．
綜上可得：函數(shù)f（x）的最小值為：$\left\{\begin{array}{l}27+10a，a＜-5\\ 2-{a}^{2}，-5≤a≤5\\ 27-10a，a＞5\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關鍵．