Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+a

x+b

圖象在點(diǎn)M（0，f（0））處的切線方程為3x-4y-6=0，
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，點(diǎn)利用函數(shù)f（x）=

x2+a

x+b

圖象在點(diǎn)M（0，f（0））處的切線方程為3x-4y-6=0，可得f（0）=-

3

2

，f′（0）=

3

4

，即可求出a、b值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2+a

x+b

，
∴f′（x）=

2x(x+b)-(x2+a)

(x+b)2

，
∵函數(shù)f（x）=

x2+a

x+b

圖象在點(diǎn)M（0，f（0））處的切線方程為3x-4y-6=0，
∴f（0）=-

3

2

，f′（0）=

3

4

，
∴

a

b

=-

3

2

，

-a

b2

=

3

4

，
∴b=2，a=-3，
∴f（x）=

x2-3

x+2

；
（2）f′（x）=

(x+1)(x+3)

(x+2)2

，
由f′（x）＞0，可得x＜-3或x＞-1，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-3），（-1，+∞）；
由f′（x）＜0，可得-3＜x＜-1，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-3，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．