Question

16．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，直線l的方程為x-y-1=0．
（1）寫出曲線C的參數(shù)方程；
（2）在曲線C上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）求出曲線C的直角坐標方程，可得參數(shù)方程；
（2）設(shè)點P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），則點P到直線l的距離為：$d=\frac{|1+cosθ-（2+sinθ）-1|}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-θ）-2|}}{{\sqrt{2}}}$=$|sin（\frac{π}{4}-θ）-\sqrt{2}|$，由此得出結(jié)論．

解答 解：（1）由ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0及$x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=\sqrt{{x^2}+{y^2}}$得：x²+y²-2x-4y+4=0，即（x-1）²+（y-2）²=1，
所以曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=2+sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$；
（2）設(shè)點P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），則點P到直線l的距離為：$d=\frac{|1+cosθ-（2+sinθ）-1|}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-θ）-2|}}{{\sqrt{2}}}$=$|sin（\frac{π}{4}-θ）-\sqrt{2}|$
所以當$sin（\frac{π}{4}-θ）=-1$時，點${d_{max}}=1+\sqrt{2}$，
此時$\frac{π}{4}-θ=-\frac{π}{2}+2kπ$，即$θ=\frac{3π}{4}-2kπ$，k∈z．
所以$1+cosθ=1+cos（\frac{3π}{4}-2kπ）=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$2+sinθ=2+sin（\frac{3π}{4}-2kπ）=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
所以點P坐標為$（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，點P到直線l的距離最大值為$1+\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程的運用，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．