Question

設(shè)向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)．
（1）求證：(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)；
（2）當(dāng)β=

2π

3

，α∈[0，π]時，向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等，求角α；
（3）向量

a

，

b

滿足|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，k＞0，將

a

與

b

的數(shù)量積表示為關(guān)于k的函數(shù)f（k），求f（k）的最小值及取得最小值時

a

與

b

的夾角．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出；
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計算公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．
（3）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．

解答： （1）證明：∵向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)．
∴

a

+

b

=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），

a

-

b

=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
∴(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=（cos²α-cos²β）+（sin²α-sin²β）=1-1=0，
∴(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)；
（2）

3

a

+

b

=(

3

cosα+cosβ，

3

sinα+sinβ)，

a

-

3

b

=(cosα-

3

cosβ，sinα-

3

sinβ)．
∵向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等，
∴

( 3 cosα+cosβ)2+( 3 sinα+sinβ)2

=

(cosα- 3 cosβ)2+(sinα- 3 sinβ)2

，
化為cos（α-β）=0，
∵β=

2π

3

，α∈[0，π]時，
∴-

2π

3

≤α-β=

π

3

，
∴α-β=-

π

2

，
解得α=

π

6

．
（3）∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，|

a

|=|

b

|=1．
∴

k2 a 2+ b 2+2k a • b

=

3

a 2+k2 b 2-2k a • b

，
又k＞0，
化為

a

•

b

=

k2+1

4k

=f（k）．
∴f(k)≥

2k

4k

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號．
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=

π

3

．

點(diǎn)評：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計算公式、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．