Question

8．已知二次函數(shù)f（x）滿足：①過點(diǎn)（1，-4）；②圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，且在該點(diǎn)處的切線與曲線y=x³+10x在x=-2處的切線平行；
（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（xlnx），求g（x）在x∈[1，e]上的值域；
（3）若曲線y=f（$\frac{lnx}{x}$），x∈（e，+∞）上任意一點(diǎn)處的切線的斜率大于a³-a+22-$\frac{46}{e}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出函數(shù)的解析式，利用已知條件求出系數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到解析式；
（2）求出函數(shù)g（x）=f（xlnx）的解析式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在x∈[1，e]的單調(diào)性，然后求解值域；
（3）運(yùn)用換元法和導(dǎo)數(shù)求得t的范圍，利用導(dǎo)函數(shù)恒大于a³-a+22-$\frac{46}{e}$，求出最值然后求解a的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
則f（1）=-4，可得a+b+c=-4，
f（0）=-3，可得c=-3，
f′（x）=2ax+b，即有f′（0）=b，
又y=x³+10x的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²+10，在x=-2處的切線斜率為12+10=22，
即有b=22，a=-23．
則f（x）=-23x²+22x-3；
（2）g（x）=f（xlnx）=-23（xlnx）²+22xlnx-3
=-23（xlnx-$\frac{11}{23}$）²+$\frac{52}{23}$．
令t=xlnx，∴當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，t'=1+lnx≥1＞0，
∴t=xlnx在x∈[1，e]上單調(diào)遞增
∴0≤t≤e，∴當(dāng)t=$\frac{11}{23}$時(shí)[g（x）]_max=$\frac{52}{23}$，
當(dāng)t=e時(shí)[g（x）]_min=-23e²+22e-3，
則g（x）在x∈[1，e]上的值域?yàn)閇-23e²+22e-3，$\frac{52}{23}$]；
（3）f（$\frac{lnx}{x}$）=-23（$\frac{lnx}{x}$）²+22•$\frac{lnx}{x}$-3
令t=$\frac{lnx}{x}$∵x∈（e，+∞）∴t′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，即有t＜$\frac{1}{e}$，
∴f（t）=-23t²+22•t-3，
∴f'（t）=-46t+22，
由t＜$\frac{1}{e}$，則f'（t）＞22-$\frac{46}{e}$，
由題意得a³-a-2＜f'（t）恒成立，
∴a³-a+22-$\frac{46}{e}$≤22-$\frac{46}{e}$，即a³-a≤0，
∴a（a+1）（a-1）≤0，
∴a的取值范圍為a≤-1或0≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的切線方程以及函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想．