Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥平面PCD，PA⊥CB，AB=2AD=2CD=2，E為PB的中點
（1）證明：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若PA=$\sqrt{5}$，求三棱錐D-EAC的體積．

Answer 1

分析 （1）要證平面PAC⊥平面PBC，可利用面面垂直的判定定理，證明平面PBC經(jīng)過平面PAC的一條垂線，由已知可得即AC⊥BC，再由已知PA⊥CB，結(jié)合線面垂直的判定得到BC⊥平面PAC，則答案得證；
（2）由（1）結(jié)合已知可得PC⊥平面ABCD，解直角三角形求出PC，把三棱錐D-EAC的體積轉(zhuǎn)化為棱錐P-DAC體積的一半得答案．

解答 （1）證明：如圖，
由已知得，AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，則AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC，
由已知有PA⊥CB，
又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（2）解：由（1）得：BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴PC⊥BC．
由已知得，AD⊥平面PCD，又PC?平面PCD，∴PC⊥AD，
又AD，BC是平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線，∴PC⊥平面ABCD．
∴$PC=\sqrt{P{A}^{2}-A{C}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{D-EAC}={V}_{E-DAC}=\frac{1}{2}{V}_{P-DAC}$
=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}{S}_{△DAC}•PC=\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•1•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．