Question

2．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足f'（x）＜f（x），且f（x+2）=f（-x+2），f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　　）

• A． （-∞，e⁴）
• B． （e⁴，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)和已知即可得出其單調(diào)性．再利用函數(shù)的奇偶性和已知可得g（0）=1，即可得出．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（-x+2）=f（x+2），
∴函數(shù)關(guān)于x=2對稱，
∴f（0）=f（4）=1，
原不等式等價為g（x）＜1，
∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1．
∴g（x）＜1?g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上單調(diào)遞減，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜e^x的解集為（0，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)的奇偶性及對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．