Question

15．等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d≠0，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且b₂=a₂，b₃=a₅，b₄=a₁₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=a_n成立，求c₁+c₂+…+c_n（n≥2）

Answer 1

分析 （I）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由于b₂=a₂，b₃=a₅，b₄=a₁₄．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可得：qb₁=1+d，q²b₁=1+4d，q³b₁=1+13d，聯(lián)立解得即可．
（II）由于數(shù)列{c_n}對任意n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=a_n成立，可得當(dāng)n=1時，c₁=a₁b₁．當(dāng)n≥2時，可得$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=a_n-a_n-1=2，可得c_n=2×3^n-1．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵b₂=a₂，b₃=a₅，b₄=a₁₄．
∴qb₁=1+d，q²b₁=1+4d，q³b₁=1+13d，
聯(lián)立解得b₁=1，q=3，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1．
（II）∵數(shù)列{c_n}對任意n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=a_n成立，
∴當(dāng)n=1時，c₁=a₁b₁=1．
當(dāng)n≥2時，$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{_{n-1}}$=a_n-1，可得$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=a_n-a_n-1=2，
∴c_n=2×3^n-1．
∴n≥2時，c₁+c₂+…+c_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）=1+2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$=3ⁿ-2．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．