Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）≥|x+1|+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，不等式即|x-1|-|x+1|≥1，利用絕對(duì)值的意義求得它的解集．
（Ⅱ）不等式即|x-a|≤-3x，分類討論求得它的解集，再根據(jù)的解集包含{x|x≤-1}，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥|x+1|+1，即|x-1|≥|x+1|+1，即|x-1|-|x+1|≥1．
由于|x-1|+|x+1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
而0.5對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于1，
故不等式f（x）≥|x+1|+1的解集為{x|x＞0.5}．
（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0，即|x-a|≤-3x，即 $\left\{\begin{array}{l}{-3x≥0}\\{3x≤x-a≤-3x}\end{array}\right.$，
當(dāng)a=0時(shí)，求得x≤0，顯然滿足條件；
當(dāng)a＜0時(shí)，求得x≤$\frac{a}{4}$，由于它包含{x|x≤-1}，故有$\frac{a}{4}$≥-1，求得-4≤a＜0；
當(dāng)a＞0時(shí)，求得x≤-$\frac{a}{2}$，由于它包含{x|x≤-1}，故有-$\frac{a}{2}$≥-1，求得0＜a≤2．
綜上可得，要求的a的取值范圍為[-4，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．