Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{|x-1|}$，g（x）=1+$\frac{x+|x|}{2}$，若f（x）＜g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• C． （$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• D． （$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，1）∪（1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）

Answer 1

分析 由題意可得可得x≠1，$\frac{x}{|x-1|}$＜1+$\frac{x+|x|}{2}$．分類討論，求得x的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：由函數(shù)f（x）=$\frac{x}{|x-1|}$，可得x≠1，由g（x）=1+$\frac{x+|x|}{2}$，且f（x）＜g（x），
可得$\frac{x}{|x-1|}$＜1+$\frac{x+|x|}{2}$．
當(dāng)x＜0時(shí)，有$\frac{x}{1-x}$＜1+0，∴x＜1-x，求得x＜$\frac{1}{2}$，綜合可得x＜0．
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，有$\frac{x}{1-x}$＜1+x，即x²+x-1＜0，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，綜合可得，0≤x＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
當(dāng)x＞1時(shí)，有$\frac{x}{x-1}$＜1+x，即x²-x-1＜0，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，綜合可得，1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
綜上可得，x的范圍為 （$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，1）∪（1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．