Question

（2009•黃浦區(qū)二模）已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3ⁿ-b（n∈N^*），則

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

3

4

．

Answer 1

分析：利用遞推公式a_n=s_n-s_n-1=2•3^n-1，a₁=s₁=3-b及數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列可知a₁=3-b=2•3⁰，b=1，a_n=2•3^n-1
從而可得[

1

an

}是以

1

2

為首項，以

1

3

為公比的等比數(shù)列，求極限可求

解答：解：由題意可得，n≥2，a_n=s_n-s_n-1=2•3^n-1，a₁=s₁=3-b
由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列可知a₁=3-b=2•3⁰∴b=1
a_n=2•3^n-1
∴[

1

an

}是以

1

2

為首項，以

1

3

為公比的等比數(shù)列
則

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

1 2 [1- ( 1 3 )n]

1- 1 3

=

lim

n→∞

3

4

[1-(

1

3

)n]=

3

4

故答案為：

3

4

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的定義、通項公式及求和公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)列的知識并能靈活利用．