【題目】已知實數(shù)，是函數(shù)的兩個零點.

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）證明：.

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）先求導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性確定有兩個零點的必要條件，再利用零點存在定理說明時有且僅有兩個零點；

（2）不妨設(shè)，并構(gòu)造，利用導數(shù)證明其單調(diào)遞增，結(jié)合可得，最后根據(jù)單調(diào)性得結(jié)果.

（1），當時，，當時，，

即在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

要使有兩個零點，必須，即，

當時，，故存在使得，

構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，當時，，

即在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，

則，故存在使得，

結(jié)合的單調(diào)性可知，當時，在R上有且僅有兩個零點，綜上.

（2）證明：由（1）不妨設(shè)，構(gòu)造，

，故在R上單調(diào)遞增，又，

故當時，，即，取得，

因為，所以，因為在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以，所以.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】由我國引領(lǐng)的5G時代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進而對增長產(chǎn)生直接貢獻，并通過產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)和波及效應(yīng)，間接帶動國民經(jīng)濟各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造岀更多的經(jīng)濟增加值.如圖是某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對今后幾年的5G經(jīng)濟產(chǎn)出所做的預(yù)測.結(jié)合下圖，下列說法正確的是（ ）

A.5G的發(fā)展帶動今后幾年的總經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加

B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)出前期增長較快，后期放緩

C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位

D.信息服務(wù)商與運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】過的直線與拋物線交于，兩點，以，兩點為切點分別作拋物線的切線，，設(shè)與交于點.

（1）求；

（2）過，的直線交拋物線于，兩點，證明：，并求四邊形面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國南北朝時期數(shù)學家、天文學家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異也”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的兩截面面積都相等，則兩幾何體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對應(yīng)的幾何體滿足祖暅原理，則該不規(guī)則幾何體的體積為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．

求證：平面BDEF；

求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在衡陽市“創(chuàng)全國文明城市”（簡稱“創(chuàng)文”）活動中，市教育局對本市A，B，C，D四所高中學校按各校人數(shù)分層抽樣，隨機抽查了200人，將調(diào)查情況進行整理后制成下表：

學校

A

B

C

D

抽查人數(shù)

10

15

100

75

“創(chuàng)文”活動中參與的人數(shù)

9

10

80

49

假設(shè)每名高中學生是否參與“創(chuàng)文”活動是相互獨立的

（1）若本市共8000名高中學生，估計C學校參與“創(chuàng)文”活動的人數(shù)；

（2）在上表中從A，B兩校沒有參與“創(chuàng)文”活動的同學中隨機抽取2人，求恰好A，B兩校各有1人沒有參與“創(chuàng)文”活動的概率；

（3）在隨機抽查的200名高中學生中，進行文明素養(yǎng)綜合素質(zhì)測評（滿分為100分），得到如上的頻率分布直方圖，其中．求a，b的值，并估計參與測評的學生得分的中位數(shù)．（計算結(jié)果保留兩位小數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，右焦點到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點，求證：直線MN恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)是定義為R的偶函數(shù)，且對任意的，都有且當時， ，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰好有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是 （ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年雙11當天，某購物平臺的銷售業(yè)績高達2135億人民幣．與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.9，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為140次．

（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？

對服務(wù)好評

對服務(wù)不滿意

合計

對商品好評

140

對商品不滿意

10

合計

200

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為X．

①求隨機變量X的分布列；

②求X的數(shù)學期望和方差．

附：，其中n＝a＋b＋c＋d．

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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