Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項和S_n=n²，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2^a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，由此能求出an=2n-1(n∈N*)．bn=22n-1．
（2）由題意知Cn=(2n-1)•22n-1Tn=1×21+3×23+5×25+…+(2n-1)•22n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，顯然n=1時滿足上式，
∴an=2n-1(n∈N*)．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=2^an，
∴bn=22n-1．…（4分）
（2）由題意知，Cn=(2n-1)•22n-1，
Tn=1×21+3×23+5×25+…+(2n-1)•22n-1，
兩邊同乘以4得4Tn=1×23+3×25+5×27+…+(2n-1)•22n+1，
兩式相減得：
-3Tn=

4×(1-4n)

1-4

-(2n-1)•22n-1-2=

(10-12n)×4n

3

-

10

3

，
所以Tn=

(12n-10)×4n+10

9

．…（10分）

點評：本題考查考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．