Question

19．定義：若$\frac{f（x）}{x^k}$在[k，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“k次比增函數(shù)”，其中k∈N^*，已知f（x）=e^ax．（其中e=2.71238…）
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求證：$\frac{1}{{\sqrt{e}}}+\frac{1}{{2{{（\sqrt{e}）}^2}}}+\frac{1}{{3{{（\sqrt{e}）}^3}}}+…+\frac{1}{{n{{（\sqrt{e}）}^n}}}＜\frac{7}{2e}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題知$y=\frac{{{e^{ax}}}}{x}$在[1，+∞）上為增函數(shù)，則將題目轉(zhuǎn)化成ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
（Ⅱ）對(duì)參數(shù)m討論，利用g（x）的單調(diào)性求解．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，故$g（x）≥g（2）=\frac{e}{2}$，即$\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}≥\frac{e}{2}$，列式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題知$y=\frac{{{e^{ax}}}}{x}$在[1，+∞）上為增函數(shù)，
故$（\frac{{{e^{ax}}}}{x}）'=\frac{{{e^{ax}}（ax-1）}}{x^2}≥0$在[1，+∞）上恒成立，故ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
即$a≥\frac{1}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，而$\frac{1}{x}≤1$，∴a≥1．--------------（4分）
（Ⅱ）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$g（x）=\frac{f（x）}{x}=\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}$，$g'（x）=\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}（\frac{x}{2}-1）}}{x^2}$，--------------（5分）
當(dāng)x＞2時(shí)，g'（x）＞0，即g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜2且x≠0時(shí)，g'（x）＜0，即g（x）在（0，2），（-∞，0）上單調(diào)遞減；
又m＞0，∴m+1＞1
故當(dāng)m≥2時(shí)，g（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞增，此時(shí)$g{（x）_{min}}=g（m）=\frac{{{e^{\frac{m}{2}}}}}{m}$；
當(dāng)0＜m≤1時(shí)，m+1≤2，g（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞減，此時(shí)$g{（x）_{min}}=g（m+1）=\frac{{{e^{\frac{m+1}{2}}}}}{m+1}$；
當(dāng)1＜m＜2時(shí)，g（x）在[m，2]上單調(diào)遞減，在[2，m+1]單調(diào)遞增，故此時(shí)$g{（x）_{min}}=g（2）=\frac{e}{2}$；--------------（8分）
綜上有：當(dāng)0＜m≤1時(shí)，$g{（x）_{min}}=g（m+1）=\frac{{{e^{\frac{m+1}{2}}}}}{m+1}$；
當(dāng)1＜m＜2時(shí)，$g{（x）_{min}}=g（2）=\frac{e}{2}$；
當(dāng)m≥2時(shí)，$g{（x）_{min}}=g（m）=\frac{{{e^{\frac{m}{2}}}}}{m}$．--------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
故$g（x）≥g（2）=\frac{e}{2}$，即$\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}≥\frac{e}{2}$，---------------（10分）
故當(dāng)x＞0時(shí)，總有$\frac{x}{{{e^{\frac{x}{2}}}}}≤\frac{2}{e}$成立，
取x=n時(shí)有$\frac{n}{{{{（\sqrt{e}）}^n}}}≤\frac{2}{e}$，$\frac{1}{{n{{（\sqrt{e}）}^n}}}=\frac{n}{{{n^2}{{（\sqrt{e}）}^n}}}≤\frac{1}{n^2}•\frac{2}{e}$，--------------（12分）
故$\frac{1}{{\sqrt{e}}}+\frac{1}{{2{{（\sqrt{e}）}^2}}}+\frac{1}{{3{{（\sqrt{e}）}^3}}}+…+\frac{1}{{n{{（\sqrt{e}）}^n}}}≤\frac{2}{e}（1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}）$$＜\frac{2}{e}（\frac{5}{4}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{（n-1）n}）=\frac{2}{e}（\frac{5}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}）＜\frac{7}{2e}$．--------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的成立，屬于難度較大題型，在高考中常作壓軸出現(xiàn)．