Question

4．若f（x）為定義在區(qū)間G上的任意兩點(diǎn)x₁，x₂和任意實(shí)數(shù)λ（0，1），總有f（λx₁+（1-λ）x₂）≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為“上進(jìn)”函數(shù)，下列函數(shù)是“上進(jìn)”函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
①f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，②f（x）=$\sqrt{x}$，③f（x）=$\frac{ln（x+1）}{x}$，④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由新定義可得函數(shù)在區(qū)間G上即為嚴(yán)格下凸函數(shù)，求f″（x＞0恒成立即可判斷．

解答 解：由區(qū)間G上的任意兩點(diǎn)x₁，x₂和任意實(shí)數(shù)λ（0，1），
總有f（λx₁+（1-λ）x₂）≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），
等價(jià)為對(duì)任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函數(shù)f（x）導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），
①f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，f″（x）=$\frac{-2+x}{{e}^{x}}$，故在（2，3）上大于0恒成立，故①為“上進(jìn)”函數(shù)；
②f（x）=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，f″（x）=-$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{\sqrt{{x}^{3}}}$＜0恒成立，故②不為“上進(jìn)”函數(shù)；
③f（x）=$\frac{ln（x+1）}{x}$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{x-（x+1）ln（x+1）}{{x}^{2}（x+1）}$，f″（x）=$\frac{-3{x}^{2}-2x+2（x+1）^{2}ln（x+1）}{{x}^{3}（x+1）^{2}}$＞0恒成立，
故③為“上進(jìn)”函數(shù)；
④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，f″（x）=$\frac{2{x}^{3}-6x}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，f″（x）＞0恒成立．
故④為“上進(jìn)”函數(shù)．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．