Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=$\frac{1}{2}$，點F₂到直線y=x的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）過F₂任意作一條直線l交橢圓C于A、B兩點，是否存在以線段AB為直徑的圓經(jīng)過F₁，若存在，求出直線l方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|c|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$⇒b²=3，求得橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)滿足條件的直線為l，其方程為x=my+1，兩交點坐標為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），直線與圓錐曲線聯(lián)立，利用韋達定理列得條件，求得所需直線．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|c|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$⇒b²=3，所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（Ⅱ）設(shè)滿足條件的直線為l，其方程為x=my+1，兩交點坐標為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}=1}{3}}\\{x=my+1}\end{array}\right.$消去x得：（3m²+4）y²+6my-9=0
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$
以AB為直徑得圓過點F1故有：$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{{F}_{1}B}=0$
（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4=0
代入化簡得9m²-7=0，m=$±\frac{\sqrt{7}}{3}$
即存在滿足條件的直線l，其方程為3x$±\sqrt{7}y-3=0$．

點評 本題主要考查圓錐曲線的方程和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題．