【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且滿足向量 。

(1),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過F1,問是否存在過F2的直線與該圓相切?若存在,求出其斜率;若不存在,說明理由。

【答案】(1);(2)存在滿足條件的直線,斜率.

【解析】

(1)由上頂點(diǎn)為B ,可以判斷出為等腰直角三角形,可以得,又右頂點(diǎn)為A,可以求出,利用,可以求出,最后求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)由(1)可知,利用,可以得出,橢圓方程可以表示成,由已知線段PB為直徑的圓經(jīng)過,設(shè)的坐標(biāo)為,可知,得出一個(gè)等式,而為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn),又得到一個(gè)等式,通過兩個(gè)等式可以求出的坐標(biāo),也就可以求出圓心坐標(biāo)和半徑。假設(shè)存在過F2的直線與該圓相切,通過圓心到切線等于半徑,列出等式,如果能求出,就說明存在,求不出,就說明不存在。

(1)易知,因?yàn)?/span>,

所以為等腰直角三角形,

所以b=c,由可知

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;

(2)由已知得,

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為的坐標(biāo)為,

因?yàn)?/span>,所以,

由題意得,所以,

又因?yàn)?/span>在橢圓上,所以,由以上兩式可得,

因?yàn)?/span>不是橢圓的頂點(diǎn),所以,故

設(shè)圓心為,則

圓的半徑

假設(shè)存在過的直線滿足題設(shè)條件,并設(shè)該直線的方程為,

由相切可知,所以

,解得

故存在滿足條件的直線。

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1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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2)以樣本的頻率作概率,試估計(jì)本次調(diào)查的網(wǎng)購者中“非常滿意”的人數(shù);

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