Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

，（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=（3ⁿ-1）

n

2n

a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n對(duì)一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，從而得到

1

an+1

+

1

2

=（

1

a1

+

1

2

）•3^n-1=

3n

2

．由此能求出結(jié)果．
（2）由bn=(3n-1)•

n

2n

•

2

3n-1

=n•(

1

2

)n-1，利用裂項(xiàng)求和法求出Tn=4-

n+2

2n-1

，從而得到{T_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，由此利用分類(lèi)討論思想能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

，（n∈N^*）
∴

1

an+1

=

an+3

an

=

3

an

+1，
∴

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，
∴

1

an+1

+

1

2

=（

1

a1

+

1

2

）•3^n-1=

3n

2

．
∴a_n=

2

3n-1-1

．（4分）
（2）∵

2

3n-1-1

，b_n=（3ⁿ-1）

n

2n

a_n，
∴bn=(3n-1)•

n

2n

•

2

3n-1

=n•(

1

2

)n-1，
∴Tn=1•1+2•(

1

2

)+3•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，②
①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．（8分），
∵T_n+1-T_n=（4-

n+3

2n

）-（4-

n+2

2n-1

）=

n+1

2n

＞0，
∴{T_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
∵不等式（-1）ⁿλ＜T_n對(duì)一切n∈N^*恒成立，
∴①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，-λ＜T_n對(duì)一切正奇數(shù)成立，
∴（T_n）_min=T₁=1，∴-λ＜1，∴λ＞-1；
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，λ＜T_n對(duì)一切正偶數(shù)成立，
∵（T_n）_min=T₂=2，∴λ＜2．
綜上知-1＜λ＜2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法和分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．