Question

8．設函數(shù)f（x）=e^xsinx-cosx，g（x）=xcosx-$\sqrt{2}$e^x（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），?x₁∈[0，$\frac{π}{2}$]，?x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得不等式f（x₁）+g（x₂）≥m成立，則實數(shù)m的范圍（　　）

• A． （-∞，-1-$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，${e}^{\frac{π}{2}}$-$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，-1-$\sqrt{2}$${e}^{\frac{π}{2}}$]
• D． （-∞，（-1-$\sqrt{2}$）${e}^{\frac{π}{2}}$]

Answer 1

分析 確定函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調遞增，可得f（x）_min=f（0）=-1；函數(shù)g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調遞減，可得g（x）_max=g（0）=-$\sqrt{2}$，利用x₁∈[0，$\frac{π}{2}$]，?x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得不等式f（x₁）+g（x₂）≥m成立，即可求出實數(shù)m的范圍．

解答 解：∵f（x）=e^xsinx-cosx，
∴f′（x）=e^xsinx+e^xcosx+sinx，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（0）=-1．
∵g（x）=xcosx-$\sqrt{2}$e^x，
∴g′（x）=cosx-xsinx-$\sqrt{2}$e^x，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]，g″（x）=-sinx-sinx-xcosx-$\sqrt{2}$e^x＜0
∴g′（x）≤g′（0）＜0，
∴函數(shù)g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調遞減，
∴g（x）_max=g（0）=-$\sqrt{2}$，
∵x₁∈[0，$\frac{π}{2}$]，?x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得不等式f（x₁）+g（x₂）≥m成立，
∴m≤-1-$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性與最值，正確求導，確定函數(shù)的單調性是關鍵．