Question

20．如圖，三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，AA₁⊥平面 A₁B₁C₁，AB=AC=AA₁=2，AB⊥AC，D 為 AC 中點，點 E 在棱 CC₁C上，且 AE⊥平面 A₁B₁D．
（Ⅰ）求 CE 的長；
（Ⅱ）求三棱錐 E-A₁BD 的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據線面垂直的性質定理，證明AE⊥A₁D，利用D為AC的中點，即可求CE的長；
（Ⅱ）根據錐體的條件公式確定三棱錐的底面積和高即可以求出錐體的體積．

解答 解：（Ⅰ）∵AE⊥平面 A₁B₁D，
∴AE⊥A₁D，
又ACC₁A₁是邊長為2的正方形，D為AC的中點，
故E為CC的中點，∴CE=1；  …（6分）
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥AC，
 又AB⊥AC，
∴BA⊥平面ACC₁A₁．
∴${V}_{E-{A}_{1}BD}$=${V}_{E-{A}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}×2×{S}_{△{A}_{1}DE}$=$\frac{2}{3}$×（4-$\frac{1}{2}-1-1$）=1．…（12分）

點評 本題主要考查線面垂直的性質，以及三棱錐的體積的計算，利用等積法轉化是解決本題關鍵．